A lei de Benford: encontrando anomalias no razão contábil

Pegue qualquer grande conjunto de valores que surgem naturalmente, como faturas, reembolsos de despesas, pagamentos ou vendas, e conte quantos começam com cada dígito. A intuição diz que cada um dos nove dígitos deveria aparecer na frente cerca de 11% das vezes. Na realidade, cerca de 30% começam com 1, 18% com 2 e menos de 5% com 9. O padrão é tão regular que sua ausência é um sinal.

Uma lei estranha com uma razão simples

O astrônomo Simon Newcomb percebeu isso em 1881, quando as primeiras páginas das tábuas de logaritmos estavam muito mais gastas que as últimas. O físico Frank Benford testou a ideia em 1938 com mais de 20.000 números, de áreas de rios a endereços, e hoje ela leva o seu nome. A parcela esperada de números que começam com o dígito d é log₁₀(1 + 1/d).

A razão é a escala. Valores que crescem em percentuais, e que cobrem várias ordens de grandeza, passam mais tempo começando com 1 do que com 9: um saldo que cresce 10% ao ano leva sete anos para ir de 1.000 a 2.000, mas pouco mais de um ano para ir de 9.000 a 10.000. A maioria dos dados financeiros tem exatamente essa propriedade, e é por isso que os auditores podem usar a lei como referência.

De curiosidade a ferramenta de auditoria

Nos anos 1990, o contador Mark Nigrini mostrou como aplicá-la sistematicamente a dados contábeis, e a análise digital faz parte hoje do instrumental de auditores externos, departamentos de auditoria interna e contadores forenses. Pesquisadores também a aplicaram a dados públicos: um estudo de 2011 de Bernhard Rauch e colegas concluiu que as estatísticas macroeconômicas da Grécia se desviavam da lei de Benford mais do que as de qualquer outro país da zona do euro, nos anos anteriores a que seus números revisados de déficit abalassem os mercados.

Neste razão simulado de 12.000 faturas de fornecedores, todos os dígitos seguem a lei de perto, exceto um: 13,4% das faturas começam com 4, contra 9,7% esperados. A medida global de aderência, o desvio absoluto médio, é 0,0085, que os limites de Nigrini ainda classificariam como conformidade aceitável. Uma única estatística-resumo pode passar enquanto um dígito específico está gritando. A análise precisa olhar os dígitos, não só a nota.

Seguir a anomalia

O próximo passo é aproximar o foco. O teste dos dois primeiros dígitos, ou simplesmente um histograma dos valores em torno da faixa suspeita, costuma contar a história.

As faturas se amontoam na faixa logo abaixo de 5.000, o limite acima do qual é exigida uma segunda aprovação. É a assinatura das compras fracionadas: um pedido de 15.000 lançado como quatro faturas de 4.800 para evitar a aprovação. Não é prova de fraude. Pode ser um comprador evitando burocracia, um fornecedor faturando por entrega ou um limite de política baixo demais. Mas é uma pergunta precisa, sobre um conjunto preciso de transações, que é do que os recursos de auditoria precisam.

Usá-la bem

• Escolha dados que deveriam segui-la: muitas transações, cobrindo várias ordens de grandeza, não números atribuídos. Números de fatura, preços definidos por política ou valores com mínimo e máximo fixos não seguirão a lei.
• Teste por população: por fornecedor, aprovador, unidade de negócio ou mês. Uma anomalia diluída no razão inteiro pode ser evidente em um único centro de custo.
• Combine-a com outros testes: valores duplicados, números redondos, valores logo abaixo de limites, lançamentos em fins de semana.
• Trate os resultados como pistas, não como conclusões. O valor do método é dizer aos auditores onde olhar em uma população grande demais para ser lida.